Reason of Existence of 4π for the Constants

유전율(permittivity)이나 투자율(permeability)를 계산하는 계산식에 보면 종종 4π가 등장하는 것을 볼 수 있다.
본 게시물은 이러한 계산식에 4π가 등장하는 배경에 대해 조사한 내용을 다른다.

 

쿨롱 법칙에 나오는 쿨롱 상수(k)는 다음과 같이 표현된다.

 

유전율은 다음 식과 같이 계산된다.

μ0 = 4π×10−7 H/m = 1.25663706143...×10−6 N/A2

 

 

이 두 식 모드 4π 를 포함하고 있음을 볼 수 있다.

 

전기장과 자기장을 다루는 식에서 4π가 등장하는 것은 각각의 법칙이 구면 대칭을 따른 점에 기인한다.

이와 같은 대칭성 때문에 구의 면적을 고려할 때 구면적에 비례하는 전기자장의 분파가 생기게 된다.

 

[구면 대칭성의 역사적 배경]

• 이 개념은 고대 그리스 시절부타 자연스럽게 등장함.
• 고대 철학자와 과학자들은 천체의 움직임이나 지구와 같은 천체의 모양을 구로 생각함(피타고라스 학파 등).
• 이러한 구면 대칭성은 뉴턴과 가우스가 각각 중력 이론과 전기장 이론을 확립하는 데도 기여함.

 

[구면 대칭성의 의미]

• 구면 대칭성은 물리적 시스템이 모든 방향에서 동일하게 보인다는 것을 의미함.
• 구형 물체나 시스템의 성질이 방향에 무관하게 동일하게 유지된다는 의미임.
• 시스템 내에서 하나의 중심점을 기준으로 동일한 거리만큼 떨어져 있다면 어떤 방향이든지 동일한 성질을 가짐을 의미함.
• 수학적으로는 어떤 물리적인 양이 오직 거리의 세제곱에만 의존하고 각도나 방향에는 의존하지 않음.

 

[구면 대칭성의 활용]

• 뉴턴은 구면 대칭을 이루는 질량 분포가 외부에서 구의 중심에 있는 점질량처럼 작용한다는 것을 발견했음.
• 천체물리학에서 별의 수명을 설명하는 항성 진화 이론에서도 이 성질을 가정하여 단순화가 가능함.
• 양자역학에서도 수소원자를 해석할 때 구면 대칭을 활용하여 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있음.

* 다만 자연계에서 실제 발생하는 대부분의 현상은 완전한 구형 대칭을 가지지 못하므로 실제 환경을 완벽하게 설명하는 데는 한계가 있음.