아인슈타인 논문과 맥스웰 방정식의 변위 전류와의 관계

아인슈타인이 맥스웰 방정식으로부터 특수 상대성 이론에 대한 영감을 받은 것은 익히 알려져 있는 내용이다.

1905년에 발표한 "Zur Elektrodynamik bewegter Körper"(움직이는 물체의 전기역학에 관하여) 논문의 주된 내용은 맥스웰 방정식의 변위 전류는 밀접한 관련성을 갖는다.

이 관계를 수학적으로 설명하면 다음과 같다.

1. 맥스웰 방정식의 변위 전류

• 맥스웰(James Clerk Maxwell)은 앙페르 법칙에 변위 전류 항을 추가하여 다음과 같이 수정함.
  ∇ × H = J + ∂D/∂t
• 여기서, ∂D/∂t는 변위 전류 밀도

 

2. 로렌츠 변환

아인슈타인은 그의 논문에 로렌츠 변환을 도입했으며, 두 관성계 S와 S' 사이의 로렌츠 변환은 다음과 같이 표현됨.

• x' = γ(x - vt)
• t' = γ(t - vx/c²)
• 여기서, γ = 1/√(1 - v²/c²)

 

3. 전자기장의 변환

로렌츠 변환을 맥스웰 방정식에 적용하면, 전기장(E)과 자기장(B)은 다음과 같이 변환됨.

• E'ₓ = Eₓ
• E'y = γ(Ey - vBz)
• E'z = γ(Ez + vBy)B'ₓ = Bₓ
• B'y = γ(By + vEz/c²)
• B'z = γ(Bz - vEy/c²)

 

4. 변위 전류의 상대성

• 변위 전류 ∂D/∂t는 로렌츠 변환 하에서 다음과 같이 변환됨.
• (∂D/∂t)' = γ(∂D/∂t - v × (∇ × H))
• 이 식은 한 관성계에서의 변위 전류가 다른 관성계에서는 전도 전류와 변위 전류의 조합으로 나타날 수 있음을 나타냄.

 

5. 전하 밀도와 전류 밀도의 변환

• ρ' = γ(ρ - vJₓ/c²)
• J'ₓ = γ(Jₓ - vρ)
• J'y = Jy
• J'z = Jz

 

이러한 변환 관계는 맥스웰 방정식의 형태가 모든 관성계에서 불변함을 보장함.

결론적으로, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" 논문은 로렌츠 변환을 통해 맥스웰 방정식의 변위 전류를 포함한 모든 항이 관성계 변환 하에서 어떻게 변하는지를 보여주었고, 이를 통해 전자기학의 상대성 원리를 확립했음.

 

 

H. A. Lorentz(1853~1928)